Ejemplo prototipo: Fábrica de artículos de vidrio

Enunciado:

Una fábrica de artefactos de vidrio elabora varios tipos de productos en sus tres plantas. La planta UNO elabora todo los elementos de aluminio, la planta DOS elabora todo lo de madera, mientras la planta TRES elabora el vidrio y ensambla los artefactos.

Debido a una reducción en las ganancias, la gerencia ha decidido reorganizar la linea de producción de la fábrica. Se descontinuaran varios productos no rentables y se dejara libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos nuevos productos que tienen ventas potenciales grandes:

1. Producto UNO: una puerta de vidrio de 8 pies, con marco de aluminio.
2. Producto DOS: una ventana corrediza con marco de madera de 4 x 6 pies.

Para elaborar estos productos, se requiere que cada planta dedica parte de su capacidad de producción para elaborar los elementos que requieren y ensamblarlos. Por la constitución de cada producto se puede ver que:

• El producto UNO requiere capacidad productiva de la planta UNO y TRES, nada de la planta DOS porque no tiene madera.
• El producto DOS requiere capacidad productiva de la planta DOS y TRES, nada de la planta UNO porque no tiene aluminio.

Como el departamento de ventas considera que se pueden vender todos las unidades elaboradas de estos dos productos, la gerencia quiere producir todas las cantidades que se puedan. Pero como se ve, estos dos productos, UNO y DOS, compiten por la capacidad productiva de la planta TRES, por lo cual la gerencia no tiene claro cual es la combinación mas rentable.

Asi que el problema queda definido asi:

Determinar que tasas de producción deben tener los dos productos con el fin de maximizar las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de producción limitadas disponibles en las tres plantas. Entiendase como tasa de producción como el número de lotes que se producen a la semana. Se permite cualquier combinación de los productos, incluso NO fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea posible del otro.

Ahora, con el problema definido, faltan datos para poder modelar el problema (EJ: cuanto es la ganancia por lote del producto UNO y DOS). Suponiendo que se hizo este levantamiento se llegó a las siguientes informaciones:

1. Número de horas disponibles semanales en cada planta para la producción de estos nuevos productos: Se determinó que la planta UNO tiene disponibles cuatro (4) horas, la planta DOS tiene disponible doce (12) horas, miemtras que la planta TRES tiene dieciocho horas (18) disponibles.
2. Número de horas de frabicación que emplea cada lote producido de cada artículo nuevo en cada una de las plantas: El producto UNO consume una (1) hora semanal en la planta UNO y tres (3) horas en la planta TRES. El producto DOS, en cambio, consume dos (2) horas en la planta DOS, y dos (2) horas en la planta TRES.
3. La ganancia (venta - costos) por lote: Se estimó que cada lote del porducto UNO dejará una ganancia de 3000 $ mientras que cada lote del producto DOS dejará 5000 $.

Formulación:

Usualmente los problemas teoricos/académicos de IO siempre tendrán bien definido el problema y los datos, pero esto está muy lejos de parecerse al mundo real. Recordando los 5 pasos que usualmente se aplican en IO, en los "problemas de libro" no podrán desarrollar habilidades para ejecutar el paso 1 (Definición del problema y recolección de datos).

Sabiendo eso, pasemos directamente a ejecutar el paso 2: Formulación del problema de forma matemática. Para eso deben tener claro primero que los problemas de optimización modelados matemáticamente tienen estas características:

1. Función objetivo: representa el comportamiento de lo que queremos optimizar cuando cambian las variables del problema. En este caso, la función objetivo deberia decirnos como se comportan las ganancias cuando cambiamos la cantidad de lotes producidos de los productos nuevos.
2. Variables de decisión: representan los elementos que afectan a la función objetivo, y por ende hay que conseguir los valores de estas variables que la optimizen. Se les llaman variables "de decisión" porque es la gerencia de las empresas las que usualmente "deciden" el valor de estas variables. El uso de las IO es hacer que esos valores sean óptimos y no meras intuiciones. En el problema prototipo, hay dos variables de decisión, que representan la cantidad de lotes semanales a elaborar del producto UNO y DOS.
   
3. Restricciones: representan límites a los que están sujetos los valores que pueden tomar las variables de decisión. Usualmente son más de una y estan representadoas como un sistemas de inecuaciones. En el ejemplo actual, la cantidad de lotes de los nuevos artículos a producir están limitados por la capacidad productiva de las plantas.

Sabiendo esto, podemos decir que la formulación matemática del problema es:

MAX F(x,y) = 3000 x + 5000 y
sujeto a:
(1) x <= 4
(2) 2 y <= 12
(3) 3 x + 2 y <= 18

Se ve, que la función objetivo representan las ganancias semanales de la fábrica por la producción de los nuevos artículos, ya que como se vió en la recolección de datos, la fábrica ganará 3000 $ por cada lote del producto UNO ( 3000 x) y 5000 $ por cada lote del producto DOS (5000 y). Entonces es obvio que las variables de decisión son la cantidad de lotes a producir semanalmente de ambos productos ( x, y).

Ahora, la producción de estos artículos esta limitada por la capacidad productiva de las plantas, y de alli vinieron las restricciones. Veamos:

1. Como el producto UNO consume una (1) hora semanal en la planta UNO por cada lote, y en la planta UNO solo hay cuatro (4) horas disponibles, tenemos que la cantidad de lotes del producto UNO no puede exceder de cuatro (x <= 4).
2. Como el producto DOS consume dos (2) horas semanales en la planta DOS por cada lote, y en la planta DOS solo hay doce (12) horas disponibles, tenemos que la cantidad de lotes del producto DOS no puede exceder la cantidad de horas disponibles ( 2 y <= 12)
3. Como en la planta TRES se presenta la competencia por los recursos, tenemos que ver que la combinación (usualmente representado como una suma) no exceda las dieciocho horas (18) disponibles. Tomando en cuenta que el producto UNO consume tres (3) horas semanales en la planta TRES y el producto DOS consume dos (2) horas semanales en la planta TRES, tenemos que esta porducción combinada no puede exceder las dieciocho horas disponibles ( 3 x + 2 y <= 18)

Ahora, recuerden que siempre hay ciertas restricciones que son conceptuales o que usualmente la persona que tiene el problema no las considera por ser muy obvias. En el caso actual ¿se podrá producir -1 lote del producto UNO o DOS? Lo que si sabemos es que la gerencia esta dispuesta a NO producir alguno de los productos (variable de decisión igual a cero), con lo que tenemos estas dos nuevas restricciones:

x >= 0 y >= 0

NOTA: problema prototipo basado en el libro "Introducción a la Investigación de Operaciones". Octava edición. Hiller-Lieberman.