Resolver problemas de Programacion Lineal gráficamente

Los problemas de la vida real planteados en forma matemática con ecuaciones lineales puede ser resuleto de varias formas, pero una de las mas intuitivas es a través de rectas en un sistema cartesiano. El hecho de que todas las ecuaciones representen una linea recta nos hace ver que el método gráfico es un acercamiento sencillo a la busqueda de soluciones de este tipo, y como veremos mas adelante, es la base de otros métodos mucho mas eficientes y menos limitados.

El Método Gráfico

Tomando en cuenta el problema prototipo, imagínese que dibujamos un plano cartesiano de dos dimensiones donde el eje de las abcisas representa la variable de decisión X1 (lotes de producto uno) y el eje de las ordenadas representa la variable de decision X2 (lotes de producto dos). Con esto tenemos un plano donde un punto representa una combinación de lotes de producto uno y dos. Asi con lo hecho hasta ahora, podemos dibujar un punto en cualquier lado del plano ya que cualquier punto es válido, ya que no hay restricciones.

Pero el problema prototipo si tiene restricciones, y lo bueno (y obligatorio) es que son inecuaciones lineales cuya representación gráfica es una recta limítrofe de la cual el punto no puede pasar. Ahora con esta nueva consideración tenemos que no todos los puntos del plano son válidos, sino son considerados soluciones factibles solo aquellos que respeten las fronteras impuestas por las restricciones. Veamos como quedarian expresadas de forma grafica las restricciones del problema prototipo (Ver gráfico).

Como lo ven, la intersección de las restricciones y el área que limitan han formado una región totalmente limitada, donde se encuentran todos los puntos (combinaciones de productos uno y dos) que respetan todas las restricciones, lo que se conoce como soluciones factibles. Al conjunto de soluciones factibles, que forman un área en el plano cartesiano (amarilla) se le conoce como región factible. Es dentro de esta region factible donde se encuentra la solución optima a nuestro problema (la combinación de lotes de productos uno y dos que no violen las restricciones de capacidad productiva de las tres plantas). Pero intuitivamente ¿dónde puede estar la solución óptima?

Razonando un poco, se puede notar que los puntos óptimos son los mas extremos, lo que están mas cercas de romper las reglas, los que están al borde de violar las restricciones: Si lo vemos en el caso de la fabrica de vidrios, es obvio pensar que la combinación de lotes óptimo estará utilizando al máximo la capacidad de las fábricas ¿cierto? No tiene mucho sentido que lleguemos a una conclusión donde se desperdicie capacidad productiva.

Aunque aqui parafraseamos una conclusión, esto esta demostrado: Las soluciones óptimas a un problema de programacion lineal se encuentra SOBRE alguna de las rectas que representan a las restricciones.

Entonces, ahora lo que se necesita saber es CÓMO se comporta la función objetivo a los cambios de X1 y X2. Para esto tenemos que dibujar una recta que represente a la función objetivo dandole un valor arbitrario a Z. En el gráfico, se puede ver dibujada la recta de la función objetivo para Z = 10. Luego, siempre paralelo a la recta que acabamos de dibujar, nos alejamos de la función objetivo hasta toparnos con el punto más extremo de la región factible. Con este método, encontramos el punto (2,6) que da como resultado un Z = 36.

¿Qué significa lo que acabamos de hacer?

La función objetivo es una linea recta que a medida que cambian los valores de sus variables (X1 y X2) se desplaza en el mapa, manteniendo siempre la misma pendiente (rectas paralelas). Esta condición hace que se respete las relaciones establecidas en la función objetivo. Para el ejemplo prototipo, la función objetivo representa las reglas en las cuales se combinan los productos 1 y 2 para generar ganancias.

Ahora, si tomamos cualquier punto sobre la recta que representa a la función objetivo vamos a conseguir una combinacion de X1 y X2 válida, pero que quizá no respete las restricciones, o quizá las respete demasiado. Es aqui donde tenemos que conseguir el punto de la región factible más alejado del origen (porque estamos maximizando) que se cruze con una paralela de la función objetivo.

Mezclando estos dos conceptos obtendremos la combinacion de X1 y X2 (productos) que combinados producen una ganancia como lo indica la función objetivo y además respeta las restricciones.

Conclusión

Este es un método sencillo de resolución de problemas de programacion lineal (PL), pero también es el más limitado. La limitación más importante es la cantidad de variables de decisión: ya que no se puede representar gráficamente ningún elemento que tenga más de tres dimenciones, los problemas de programacion lineal con cuatro (4) o más variables de decisión no se pueden resolver ccon este metodo.